Suponha que f e g são funções deriváveis onde f(2)=8, g(2)=2, f^prime(2)=13 e g^prime(2)=-3. Calcule as derivadas em x=2 das seguintes funções
raizf^2(x)+g^2(x).

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções deriváveis f e g com valores em x=2:
f(2)=8, g(2)=2, f'(2)=tfrac13, g'(2)=-3
Pede-se a derivada em x=2 de
h(x)=raizf(x)^2+g(x)^2
Para isso vamos usar a regra da cadeia e a regra da soma.

Passo 2

Definimos
h(x)=l(f(x)^2+g(x)^2r)^1/2
Aplicando a regra da cadeia e a regra da soma obtemos
h'(x) =tfrac12l(f(x)^2+g(x)^2r)^-1/2cdotl(2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)r)
Simplificando,
h'(x) =f(x)f'(x)+g(x)g'(x)raiz,f(x)^2+g(x)^2,

Passo 3

Agora substituímos x=2. Primeiro o numerador:
f(2),f'(2)+g(2),g'(2) =8cdottfrac13+2cdot(-3) =tfrac83-6 =tfrac8-183 =-tfrac103

Passo 4

Em seguida o denominador:
raizf(2)^2+g(2)^2 =raiz8^2+2^2 =raiz64+4 =raiz68 =2raiz17

Passo 5

Logo,
h'(2) =-tfrac1032raiz17 =-103cdot12raiz17 =-106raiz17 =-53raiz17 =-5raiz1751

Resposta

h'(2)=-53raiz17 l(=-tfrac5raiz1751r)

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