Determine a derivada das seguintes potências
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia), derivada de potência e derivada de seno.
Passo 2
Vamos ver a composição em três etapas:
t(x) = x + 5,
u(t) = \sin(t),
g(u) = u^{\frac{5}{4}}.
Assim .
t(x) = x + 5,
u(t) = \sin(t),
g(u) = u^{\frac{5}{4}}.
Assim
Passo 3
Calculamos a derivada de cada parte:
t’(x) = 1,
u’(t) = \cos(t),
g’(u) = \frac{5}{4} u^{\frac{1}{4}}.
t’(x) = 1,
u’(t) = \cos(t),
g’(u) = \frac{5}{4} u^{\frac{1}{4}}.
Passo 4
Pela regra da cadeia,
Substituindo
e
, vem