Determine a derivada das seguintes potências
f(x)=raiz[3]1+cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz[3]1+cos(2x)
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia, pois temos uma potência de índice não inteiro composta com uma função trigonométrica.

Passo 2

Reescrevemos f como
f(x)=l(1+cos(2x)r)^13
Assim identificamos a composição f(x)=gl(u(x)r) com
g(u)=u^tfrac13, u(x)=1+cos(2x)

Passo 3

Calculamos a derivada de g em função de u. Se
y=g(u)=u^13,
então
dydu=g'(u)=13,u^-23

Passo 4

Agora derivamos a função interna u(x):
u(x)=1+cos(2x) Longrightarrow u'(x)=ddxl(cos(2x)r)=-sin(2x)cdot2=-2sin(2x)

Passo 5

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'l(u(x)r),cdot u'(x) =13,l(1+cos(2x)r)^-23cdotl(-2sin(2x)r)
Simplificando,
f'(x)=-23,sin(2x),l(1+cos(2x)r)^-23

Resposta

f'(x)=-2,sin(2x)3,l(1+cos(2x)r)^tfrac23

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