Exercício 3

Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
f(x, y)=e^x ln y-tan x-y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=e^xln y-tan x - y
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando regra da cadeia, derivada de exponencial, logaritmo e tangente.

Passo 2

Para partial fpartial x, tratamos y como constante. Aplicando a regra da cadeia em e^xln y:
partialpartial xe^xln y=(ln y),e^xln y
Além disso partialpartial x(-tan x)=-sec^2x e partialpartial x(-y)=0. Logo,
partial fpartial x(x,y) =(ln y),e^xln y-sec^2x

Passo 3

Para partial fpartial y, tratamos x como constante. Em e^xln y temos u(x,y)=xln y, então
partialpartial ye^xln y =partial upartial ye^u =xy,e^xln y
Também partialpartial y(-tan x)=0 e partialpartial y(-y)=-1. Assim,
partial fpartial y(x,y) =xy,e^xln y-1

Resposta

partial fpartial x(x,y) =e^xln yln y-sec^2x, partial fpartial y(x,y) =xy,e^xln y-1

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