Determine a derivada segunda de cada função:
f(x) = x^(5/2) * e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a segunda derivada da função . Isso envolve entender como derivar funções que são produtos de duas outras funções, usando a Regra do Produto. Também vamos precisar saber como derivar funções de potência (como ) e funções exponenciais (como ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de usando a Regra do Produto. A Regra do Produto diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , então a derivada de é:
Aqui, podemos identificar:
Agora, vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
    Isso porque a derivada de é .
  • Derivada de :
    A derivada de é ele mesmo.
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos simplificar colocando em evidência:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar . Vamos novamente usar a Regra do Produto, já que é o produto de e .
Então, temos:
Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
    Vamos derivar cada termo separadamente:
    Então,
Agora, aplicando a Regra do Produto para :
Substituindo os valores:
Podemos fatorar novamente:
Agora, vamos combinar termos semelhantes:
Podemos simplificar colocando os termos em ordem crescente dos expoentes:

Resposta

A segunda derivada da função é:

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