Determine a derivada segunda de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a segunda derivada da função
. Isso envolve entender como derivar funções que são produtos de duas outras funções, usando a Regra do Produto. Também vamos precisar saber como derivar funções de potência (como
) e funções exponenciais (como
).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
usando a Regra do Produto. A Regra do Produto diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja,
, então a derivada de
é:
Aqui, podemos identificar:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: Isso porque a derivada deé . -
Derivada de
: A derivada deé ele mesmo.
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos simplificar colocando
em evidência:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
. Vamos novamente usar a Regra do Produto, já que
é o produto de
e
.
Então, temos:
Vamos calcular as derivadas:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: Vamos derivar cada termo separadamente:Então,
Agora, aplicando a Regra do Produto para
:
Substituindo os valores:
Podemos fatorar
novamente:
Agora, vamos combinar termos semelhantes:
Podemos simplificar colocando os termos em ordem crescente dos expoentes:
Resposta
A segunda derivada da função é: