Utilizando diferenciação logarítmica, determine a derivada de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
usando diferenciação logarítmica. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas de funções mais complicadas. Para isso, vamos precisar aplicar logaritmos para simplificar a expressão antes de diferenciar.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Assim:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo.
Passo 5
Diferenciando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
No lado direito, temos o produto de duas funções, então usamos a regra do produto:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
requer a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é