A Função Gamma é definido por Gamma:(0,+infty) R por
Gamma(p)=integral0^infty e^-x x^p-1 d x
c) Sabendo que Gamma(1 / 2)=raizpi, calcule Gamma(3 / 2), Gamma(5 / 2), Gamma(7 / 2) e Gamma(9 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos os valores da Função Gamma para alguns números fracionários, especificamente Gamma(32), Gamma(52), Gamma(72) e Gamma(92). A Função Gamma é definida por:
Gamma(p) = integral0^infty e^-x x^p-1 , dx
Sabemos que Gamma(12) = raizpi. Vamos usar essa informação e algumas propriedades da Função Gamma para encontrar os valores solicitados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade bem útil da Função Gamma:
Gamma(p + 1) = p cdot Gamma(p)
Essa relação nos permite calcular Gamma de um número maior a partir de Gamma de um número menor. Vamos usar isso para avançar passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando Gamma(32). Usando a propriedade que mencionamos:
Gamma(32) = (12) cdot Gamma(12)
Sabemos que Gamma(12) = raizpi, então substituindo:
Gamma(32) = 12 cdot raizpi = raizpi2

Passo 4

Agora, vamos calcular Gamma(52). Mais uma vez, aplicamos a propriedade:
Gamma(52) = (32) cdot Gamma(32)
Substituindo o valor que encontramos anteriormente:
Gamma(52) = 32 cdot raizpi2 = 3raizpi4

Passo 5

Seguimos para Gamma(72). Aplicando a mesma lógica:
Gamma(72) = (52) cdot Gamma(52)
Substituindo o valor anterior:
Gamma(72) = 52 cdot 3raizpi4 = 15raizpi8

Passo 6

Finalmente, vamos calcular Gamma(92):
Gamma(92) = (72) cdot Gamma(72)
Substituindo o valor anterior:
Gamma(92) = 72 cdot 15raizpi8 = 105raizpi16

Resposta

Os valores das Funções Gamma são:
Gamma(32) = raizpi2
Gamma(52) = 3raizpi4
Gamma(72) = 15raizpi8
Gamma(92) = 105raizpi16

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