Determine a derivada y^prime da função seguinte.
x^2=y^2-sen(x y);

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y: x^2=y^2-sin(xy). O conteúdo aqui é derivada implícita e vamos precisar das regras da cadeia e do produto para diferenciar y em função de x.

Passo 2

Derivamos os dois lados da equação em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da potência, temos:
ddx(x^2)=2x
No lado direito, derivamos y^2 usando que y depende de x, e -sin(xy) aplicando regra da cadeia e do produto:
ddx(y^2)=2y,y',
ddxl(-sin(xy)r)=-cos(xy)cdotddx(xy)=-cos(xy)l(y + x,y'r)
Portanto, juntando tudo:
2x = 2y,y' - cos(xy)l(y + x,y'r)

Passo 3

Agora vamos agrupar os termos que contêm y'. Expandindo a subtração:
2x = 2y,y' - ycos(xy) - x,y'cos(xy)
Isolando os termos com y' do lado direito temos:
2y,y' - x,y'cos(xy) = 2x + ycos(xy)

Passo 4

Fatoramos y' no lado esquerdo e depois isolamos y':
y'l(2y - xcos(xy)r) = 2x + ycos(xy),
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y' = 2x + ycos(xy)2y - xcos(xy)

Resposta

y' = dfrac2x + ycos(xy)2y - xcos(xy)

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