Determine a derivada.
$y=x^{2} \operatorname{sen} x \cdot \tan x$

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função

y = x^{2}\operatorname{sen} x \cdot \tan x.

O conteúdo utilizado será a regra do produto (para três fatores) e as derivadas de

\,x^{2}

, de

\operatorname{sen} x

e de

\tan x

.

Passo 2

Para uma função

y = f(x)\,g(x)\,h(x)

vale a regra estendida do produto:

y' = f'(x)\,g(x)\,h(x) \;+\; f(x)\,g'(x)\,h(x)\;+\;f(x)\,g(x)\,h'(x).

Aqui temos

f(x)=x^{2}

,

g(x)=\operatorname{sen} x

e

h(x)=\tan x

.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:

f'(x) = (x^{2})' = 2x, \quad g'(x) = (\operatorname{sen} x)' = \cos x, \quad h'(x) = (\tan x)' = \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Substituindo na regra do produto:

y' = f'(x)\,g(x)\,h(x) +f(x)\,g'(x)\,h(x) +f(x)\,g(x)\,h'(x)

y' = \bigl(2x\bigr)\,\operatorname{sen} x\;\tan x \;+\;x^{2}\,\bigl(\cos x\bigr)\,\tan x \;+\;x^{2}\,\operatorname{sen} x\;\operatorname{sec}^{2}x.

Resposta

y' = 2x\,\operatorname{sen} x\,\tan x \;+\; x^{2}\,\cos x\,\tan x \;+\; x^{2}\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{sec}^{2}x.

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