Determine a primeira e a segunda derivadas das funções abaixo.
f(x)=\frac{x^{2}+3}{(x-1)^{3}+(x+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+3}{(x-1)^{3}+(x+1)^{3}}
e pede f'(x) e f''(x). Aqui usamos fatoração para simplificar antes de aplicar as regras de derivação (regra do quociente ou, após simplificar, regra de potência).

Passo 2

Expandimos e fatoramos o denominador:
(x-1)^{3}+(x+1)^{3} = \bigl(x^{3}-3x^{2}+3x-1\bigr)+\bigl(x^{3}+3x^{2}+3x+1\bigr) =2x^{3}+6x =2x\,(x^{2}+3).
Logo, para x\neq0,
f(x) =\frac{x^{2}+3}{2x\,(x^{2}+3)} =\frac{1}{2x}.

Passo 3

Reescrevemos
f(x)=\tfrac12\,x^{-1}.
Aplicando a regra de potência,
f'(x)=\tfrac12\cdot(-1)\,x^{-2} =-\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos f'(x). Como
f'(x)=-\tfrac12\,x^{-2},
temos
f''(x)=-\tfrac12\cdot(-2)\,x^{-3} = x^{-3} =\frac{1}{x^{3}}.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{1}{2x^{2}}
f''(x)=\dfrac{1}{x^{3}}

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