Determine a primeira e a segunda derivadas das funções abaixo.
f(x)=\frac{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a primeira e a segunda derivadas da função
f(x)=\frac{(x-1)\bigl(x^2+x+1\bigr)}{x^3}.
O conteúdo envolve simplificação de expressões racionais e aplicação da regra da potência para derivar termos do tipo x^n.

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x). Observamos que
(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1
pela fatoração da diferença de cubos. Então
f(x)=\frac{x^3-1}{x^3} =1-\frac{1}{x^3} =1-x^{-3}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência para obter f'(x). A derivada de 1 é zero e, para x^{-3}, usamos
\frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}.
Logo
f'(x)=0-\bigl(-3\bigr)x^{-4}=3x^{-4}.

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos f'(x)=3x^{-4} novamente pela regra da potência:
f''(x)=3\cdot(-4)\,x^{-5}=-12\,x^{-5}.

Resposta

f'(x)=3x^{-4}=\dfrac{3}{x^4}.
f''(x)=-12x^{-5}=-\dfrac{12}{x^5}.

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