Determine as derivadas das funções dadas abaixo.
f(x)=e^{x}\left(\frac{1}{x^{2}}+x^{-\pi / 2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+x^{-\pi/2}\Bigr).
O conteúdo usado será a regra do produto e a regra de potência para derivar potências de x.

Passo 2

Identificamos
u(x)=e^{x}, \quad v(x)=\frac{1}{x^{2}}+x^{-\pi/2}.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Como u'(x)=e^{x}, temos
f'(x)=e^{x}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+x^{-\pi/2}\Bigr) +e^{x}\,v'(x).

Passo 3

Calculamos v'(x) termo a termo:
– Para \tfrac{1}{x^{2}}=x^{-2},
\frac{d}{dx}x^{-2}=-2\,x^{-3}.
– Para x^{-\pi/2},
\frac{d}{dx}x^{-\pi/2}=-\frac{\pi}{2}\,x^{-\pi/2-1}.
Logo
v'(x)=-2\,x^{-3} -\frac{\pi}{2}\,x^{-\pi/2-1}.

Passo 4

Substituindo v'(x) em f'(x) e fatorando e^{x}, obtemos
f'(x) =e^{x}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+x^{-\pi/2}\Bigr) +e^{x}\Bigl(-2\,x^{-3}-\tfrac{\pi}{2}\,x^{-\pi/2-1}\Bigr)
\boxed{\,f'(x)=e^{x}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-2\,x^{-3}+x^{-\pi/2}-\tfrac{\pi}{2}\,x^{-\pi/2-1}\Bigr)\,.}

Resposta

f'(x) =e^{x}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-2\,x^{-3}+x^{-\pi/2}-\tfrac{\pi}{2}\,x^{-\pi/2-1}\Bigr).

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