Determine as derivadas das funções dadas abaixo.
f(x)=\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\bigl(x^{2}-1\bigr)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}.
Para resolver, vamos usar a regra do produto para derivar o denominador e a regra da cadeia para a função recíproca.

Passo 2

Definimos
u(x) = \bigl(x^{2}-1\bigr)\bigl(x^{2}+x+1\bigr),
de modo que
f(x)=\frac{1}{u(x)}.
A derivada de 1/u é dada por
\bigl(u^{-1}\bigr)' = -\frac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}.

Passo 3

Vamos calcular u'(x) aplicando a regra do produto:
a derivada de x^{2}-1 é 2x e a de x^{2}+x+1 é 2x+1. Então
u'(x) = 2x\,(x^{2}+x+1) \;+\;(x^{2}-1)\,(2x+1).
Desenvolvendo e somando termos semelhantes,
u'(x) = 2x^{3}+2x^{2}+2x \;+\;2x^{3}+x^{2}-2x-1 = 4x^{3}+3x^{2}-1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada da recíproca:
f'(x) = -\frac{u'(x)}{\bigl(u(x)\bigr)^{2}} = -\frac{4x^{3}+3x^{2}-1}{\bigl((x^{2}-1)(x^{2}+x+1)\bigr)^{2}}.
Podemos ainda escrever o denominador expandido como produto de quadrados:
f'(x) = -\frac{4x^{3}+3x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{4x^{3}+3x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}}.

Exercícios relacionados