Determine a primeira e a segunda derivadas das funções abaixo.
f(x)=\frac{x^{2}+5 x-1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a primeira e a segunda derivadas da função
f(x)=\frac{x^{2}+5x-1}{x^{2}}.
O conteúdo envolvido é derivação de funções racionais. Podemos simplificar a expressão usando regras de potência antes de aplicar a derivada para ficar mais direto.

Passo 2

Vamos escrever f(x) em potências de x. Temos
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{5x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}} =1+5x^{-1}-x^{-2}.

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada usando a regra do poder ( \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(5x^{-1}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) =0 + 5\cdot(-1)x^{-2} -(-2)x^{-3}.
Portanto,
f'(x)=-5x^{-2}+2x^{-3} =\frac{-5}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}.

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{-2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-3}\bigr) =-5\cdot(-2)x^{-3}+2\cdot(-3)x^{-4}.
Logo,
f''(x)=10x^{-3}-6x^{-4} =\frac{10}{x^{3}}-\frac{6}{x^{4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{5}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}, \qquad f''(x)=\frac{10}{x^{3}}-\frac{6}{x^{4}}.

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