Nos itens abaixo, determine a primeira e a segunda derivada de cada função.
f(x)=\frac{12}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{12}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}
e pede a primeira e a segunda derivadas. Vamos usar a regra do poder, que diz que
\displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Para aplicar a regra do poder, reescrevemos cada termo como potência:
f(x)=12\,x^{-1}-4\,x^{-2}+1\,x^{-4}.

Passo 3

Derivando termo a termo com a regra do poder, obtemos a primeira derivada:
f'(x) =\;12\cdot(-1)\,x^{-2} \;-\;4\cdot(-2)\,x^{-3} \;+\;1\cdot(-4)\,x^{-5},
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f'(x)=-12\,x^{-2}+8\,x^{-3}-4\,x^{-5}.

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos f'(x) novamente termo a termo:
f''(x) =-12\cdot(-2)\,x^{-3} +8\cdot(-3)\,x^{-4} -4\cdot(-5)\,x^{-6},
então
f''(x)=24\,x^{-3}-24\,x^{-4}+20\,x^{-6}.

Resposta

f'(x)=-12\,x^{-2}+8\,x^{-3}-4\,x^{-5}
f''(x)=24\,x^{-3}-24\,x^{-4}+20\,x^{-6}

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