Determine as derivadas das funções encontradas nos exercícios 17-28.
21. v=(1-t)\left(1+t^{2}\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a função
v=(1-t)\left(1+t^{2}\right)^{-1}
e pede a derivada de v em relação a t, isto é v'=\dfrac{dv}{dt}.

Passo 2

Escolho usar a regra do produto junto com a regra da cadeia (métodos básicos e diretos). Vou lembrar as fórmulas que usarei:
  • Regra do produto: se v(t)=u(t)\,w(t) então
v'(t)=u'(t)\,w(t)+u(t)\,w'(t).
Aqui u(t) e w(t) são as duas partes do produto.
  • Regra da cadeia (forma prática): se w(t)=\varphi(\psi(t)) então
w'(t)=\varphi'(\psi(t))\cdot\psi'(t),
ou seja derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Identifico as partes do produto e calculo suas derivadas:
  • Seja u(t)=1-t. Então
u'(t)=-1,
porque a derivada de 1 é 0 e da função -t é -1.
  • Seja w(t)=\left(1+t^{2}\right)^{-1}. Vou aplicar a regra da cadeia: a função externa é \varphi(x)=x^{-1} (cuja derivada é \varphi'(x)=-x^{-2}) e a função interna é \psi(t)=1+t^{2} (cuja derivada é \psi'(t)=2t). Portanto
w'(t)=\varphi'(\psi(t))\cdot\psi'(t) = -\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2}\cdot 2t = -2t\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2}.

Passo 4

Aplico a regra do produto com os resultados de u' e w':
v'(t)=u'(t)\,w(t)+u(t)\,w'(t) = -\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-1} + (1-t)\bigl(-2t\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2}\bigr).
Organizando os sinais:
v'(t) = -\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-1} - 2t(1-t)\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2}.

Passo 5

Para simplificar, fatoro \bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2} em evidência (isso é equivalente a pôr tudo sobre o mesmo denominador (1+t^{2})^{2}):
v'(t)=\left[-\bigl(1+t^{2}\bigr) - 2t(1-t)\right]\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2}.

Passo 6

Faço a álgebra no numerador passo a passo:
-\bigl(1+t^{2}\bigr) - 2t(1-t) = -1 - t^{2} - 2t + 2t^{2}.
Reagrupando os termos semelhantes:
-1 - t^{2} - 2t + 2t^{2} = (-t^{2}+2t^{2}) - 2t -1 = t^{2} - 2t -1.
Então
v'(t)=\dfrac{t^{2}-2t-1}{\bigl(1+t^{2}\bigr)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{t^{2}-2t-1}{\bigl(1+t^{2}\bigr)^{2}}

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