Determine as derivadas das funções a seguir: y = cos(x)/(1 + sen(x)) - 1/(1 + sen(x))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar as derivadas da função . Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando regras de derivação como a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a derivação. Observe que ambas as frações têm o mesmo denominador . Então, podemos combinar os termos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Como temos um quociente, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular , a derivada de :

Passo 5

Agora, calculamos , a derivada de :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, distribuindo:
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Lembrando da identidade trigonométrica , podemos substituir :
Simplificando os termos:

Passo 9

Podemos reescrever o numerador para uma forma mais organizada:

Resposta

A derivada da função é:

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