Determine as derivadas das funções a seguir: y = x^3 e^x ; (3 x^2 + x^3) e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas de duas funções que envolvem potências de e a função exponencial . Para isso, vamos usar a regra do produto, que é essencial quando temos o produto de duas funções que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Quando temos o produto de duas funções, como , usamos a regra do produto para encontrar a derivada.
A regra do produto diz que:
Ou seja, a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Passo 3

Vamos aplicar isso na primeira função: .
Identificamos:
Agora, precisamos encontrar e .
A derivada de é:
A derivada de é:

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda função: .
Aqui, temos:
Primeiro, encontramos :
Sabemos que , como antes.

Passo 6

Aplicando a regra do produto novamente:
Podemos combinar os termos:

Resposta

A derivada das funções dadas é:
  1. Para :
  1. Para :

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