Determine as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas de duas funções que envolvem potências de
e a função exponencial
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que é essencial quando temos o produto de duas funções que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
. Quando temos o produto de duas funções, como
, usamos a regra do produto para encontrar a derivada.
A regra do produto diz que:
Ou seja, a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Passo 3
Vamos aplicar isso na primeira função:
.
Identificamos:
Agora, precisamos encontrar
e
.
A derivada de
é:
A derivada de
é:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda função:
.
Aqui, temos:
Primeiro, encontramos
:
Sabemos que
, como antes.
Passo 6
Aplicando a regra do produto novamente:
Podemos combinar os termos:
Resposta
A derivada das funções dadas é:
- Para
:
- Para
: