Determine as derivadas indicadas em cada item abaixo.
partial rpartial u, partial rpartial v, partial rpartial t onde r=x^3+3 y-x y^2, x=u+v ln t, y=v^2-ln (u t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial rpartial u, partial rpartial v e partial rpartial t onde r é dada em função de x,y e estas, por sua vez, em função de u,v,t. Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Para começar, calculamos as derivadas parciais de r em relação a x e y. Temos
r = x^3 + 3y - x y^2
Logo,
partial rpartial x = 3x^2 - y^2,
partial rpartial y = 3 - 2xy

Passo 3

As funções auxiliares são
x = u + vln t, y = v^2 - ln(u t)
Derivando em relação a u,v,t, obtemos
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = ln t, partial xpartial t = vt,
partial ypartial u = -1u, partial ypartial v = 2v, partial ypartial t = -1t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial rpartial u:
partial rpartial u = partial rpartial xpartial xpartial u + partial rpartial ypartial ypartial u
Substituindo,
partial rpartial u = (3x^2 - y^2)cdot 1 + (3 - 2xy)l(-1ur) = 3x^2 - y^2 - 3 - 2xyu

Passo 5

Para partial rpartial v usamos
partial rpartial v = partial rpartial xpartial xpartial v + partial rpartial ypartial ypartial v
Isso dá
partial rpartial v = (3x^2 - y^2)(ln t) + (3 - 2xy)(2v)

Passo 6

Finalmente, para partial rpartial t temos
partial rpartial t = partial rpartial xpartial xpartial t + partial rpartial ypartial ypartial t,
logo
partial rpartial t = (3x^2 - y^2)vt + (3 - 2xy)l(-1tr) = v(3x^2 - y^2) - (3 - 2xy)t

Resposta

partial rpartial u = 3x^2 - y^2 - 3 - 2xyu, partial rpartial v = (3x^2 - y^2)ln t + 2v(3 - 2xy), partial rpartial t = v(3x^2 - y^2) - (3 - 2xy)t
Lembrando que x = u + vln t e y = v^2 - ln(u t).

Exercícios relacionados