Nos exercícios a seguir use a regra da cadeia para calcular d zd t, d wd t
w=sin x y z, x=t, y=t^2, z=t^3

Passo 1

O exercício usa a regra da cadeia para achar derivadas em funções compostas. Aqui a gente tem x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3 e w(x,y,z)=sin(xyz). Precisamos calcular dz/dt e depois dw/dt aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Para dz/dt basta derivar z(t)=t^3 em relação a t. Logo, dzdt=3t^2.

Passo 3

Para dw/dt reescrevemos w como w=sin(u) onde u=xyz. Pela regra da cadeia: dwdt=cos(u)cdotdudt. E como u=xyz temos produto de três funções, então
o termo dudt=ddt(x),y,z + x,ddt(y),z + x,y,ddt(z). Substituindo x=t, y=t^2, z=t^3 e suas derivadas x'=1, y'=2t, z'=3t^2, obtemos
dudt=1cdot t^2cdot t^3 + tcdot 2tcdot t^3 + tcdot t^2cdot 3t^2 = t^5 + 2t^5 +3t^5 =6t^5. Portanto dwdt=6t^5cos(t^6).

Resposta

dzdt=3t^2, dwdt=6t^5cos(t^6)

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