Nos exercícios a seguir use a regra da cadeia para calcular d zd t, d wd t
w=xy-zx, x=sin t, y=cos t, z=tan t

Passo 1

O exercício pede para calcular dzdt e dwdt usando a regra da cadeia, sabendo que x=sin t, y=cos t, z=tan t e w=xy-zx. Vamos usar derivadas de funções elementares e a regra do quociente.

Passo 2

Para z, que já é dada diretamente em função de t como z=tan t, basta lembrar que a derivada de tan t é sec^2 t. Portanto, usando ddt(tan t)=sec^2 t, obtemos:
dzdt=sec^2 t

Passo 3

Agora para w=xy-zx, vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do quociente. Para o primeiro termo, aplicando ddt(xy)=y,x'-x,y'y^2, temos:
ddtl(xyr)=ycdotdxdt-xcdotdydty^2
como dxdt=cos t e dydt=-sin t, isso vira:
ddtl(xyr)=cos tcdotcos t-sin tcdot(-sin t)cos^2 t=cos^2 t+sin^2 tcos^2 t=sec^2 t

Passo 4

Para o segundo termo, aplicando ddt(zx)=x,z'-z,x'x^2, temos:
ddtl(zxr)=xcdotdzdt-zcdotdxdtx^2
Substituindo dzdt=sec^2 t, z=tan t e dxdt=cos t, fica:
ddtl(zxr)=sin tcdotsec^2 t-tan tcdotcos tsin^2 t=sin t/cos^2 t-sin tsin^2 t=sin^3 t/cos^2 tsin^2 t=sin tcos^2 t

Passo 5

Finalmente, juntando os dois resultados e lembrando que w=xy-zx, temos:
dwdt=sec^2 t-sin tcos^2 t=1-sin tcos^2 t

Resposta

dzdt=sec^2 t, dwdt=1-sin tcos^2 t

Exercícios relacionados