Determine as derivadas de ordem superior das seguintes funções:
(3) Encontre a quarta derivada de f(x)=e^2 x.

Passo 1

O enunciado pede a quarta derivada de f(x)=e^2x. O conteúdo principal aqui é o uso repetido da regra da cadeia, que diz que
ddxe^u(x) = u'(x),e^u(x)
No nosso caso, u(x)=2x e u'(x)=2. A cada derivada, vamos multiplicar por mais um fator 2.

Passo 2

Calculando a primeira derivada, aplicamos a regra da cadeia a f(x)=e^2x, obtendo
f'(x)=2,e^2x

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos f'(x)=2e^2x. O fator constante 2 permanece e aplicamos novamente a regra da cadeia a e^2x:
f''(x)=2cdot(2e^2x)=4,e^2x

Passo 4

Derivando pela terceira vez, partimos de f''(x)=4e^2x. Mantemos o 4 e repetimos o processo:
f'''(x)=4cdot(2e^2x)=8,e^2x

Passo 5

Finalmente, para a quarta derivada, derivamos f'''(x)=8e^2x e obtemos
f^(4)(x)=8cdot(2e^2x)=16,e^2x

Resposta

f^(4)(x)=16,e^2x

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