Exercício 2) Escreva, de seis formas distintas, as integrais triplas em coordenadas cartesianas que permitem calcular a massa do sólido S situado no primeiro octante e delimitado simultaneamente pelas superfícies cilíndricas
4 y^2+z^2=36, y=3-x^2,
sabendo que a densidade de massa do sólido é dada por
f(x, y, z)=8 x y z
A seguir, escolha uma das formas obtidas para calcular o valor numérico da massa do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar seis maneiras diferentes de escrever integrais triplas em coordenadas cartesianas para calcular a massa de um sólido $ S $ que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado por duas superfícies cilíndricas dadas por:
S
Além disso, a densidade de massa do sólido é dada pela função:
4y^2 + z^2 = 36 e y = 3 - x^2
Então, vamos precisar entender como montar as integrais triplas nessas coordenadas para calcular a massa, considerando os limites de integração definidos pelas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “primeiro octante”. O primeiro octante é a região do espaço onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos. Ou seja, $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar as superfícies que delimitam o sólido.
  1. Superfície cilíndrica $ 4y^{2} + z^{2} = 36 $:
    • Podemos reescrever essa equação para facilitar: 4y^2 + z^2 = 36 z^2 = 36 - 4y^2
    • Isso nos dá o limite superior para $ z $ em termos de $ y $.
  2. Superfície parabólica $ y = 3 - x^{2} $:
    • Essa equação nos dá o limite máximo para $ y $ em termos de $ x $.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  1. Para $ x $:
    • No primeiro octante, $ x $ varia de 0 até o ponto onde $ y = 0 $: x Então, $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{3} $.
  2. Para $ y $:
    • Para um valor fixo de $ x $, $ y $ varia de 0 até $ 3 - x^{2} $.
  3. Para $ z $:
    • Para valores fixos de $ x $ e $ y $, $ z $ varia de 0 até $ \sqrt{36 - 4y^{2}} $.

Passo 5

Com esses limites, podemos escrever uma das formas da integral tripla para a massa $ M $:
M

Passo 6

Agora, vamos construir as outras cinco formas rearranjando a ordem das integrais. Por exemplo:
  1. Integrando em ordem $ dz , dx , dy $:
dz , dx , dy
  1. Integrando em ordem $ dy , dz , dx $:
M = integral0^3 integral0^raiz3 - y integral0^raiz36 - 4y^2 8xyz , dz , dx , dy
  1. Integrando em ordem $ dz , dy , dx $:
dy , dz , dx
  1. Integrando em ordem $ dx , dy , dz $:
M = integral0^raiz3 integral0^raiz36 - 4y^2 integral0^3 - x^2 8xyz , dy , dz , dx
  1. Integrando em ordem $ dx , dz , dy $:
dz , dy , dx

Resposta

Escolhendo a primeira forma para calcular a massa:
M = integral0^raiz3 integral0^3 - x^2 integral0^raiz36 - 4y^2 8xyz , dz , dy , dx
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integração em $ z $:
z
  1. Integração em $ y $:
integral0^raiz36 - 4y^2 8xyz , dz = 8xy [ z^22 ]0^raiz36 - 4y^2 = 8xy ( 36 - 4y^22 ) = 8xy (18 - 2y^2) = 144xy - 16xy^3
y
integral0^3 - x^2 (144xy - 16xy^3) , dy = 144x [ y^22 ]0^3 - x^2 - 16x [ y^44 ]0^3 - x^2 = 144x ( (3 - x^2)^22 ) - 16x ( (3 - x^2)^44 )
= 72x (9 - 6x^2 + x^4) - 4x (81 - 108x^2 + 54x^4 - 12x^6 + x^8)
  1. Integração em $ x $:
= 648x - 432x^3 + 72x^5 - 324x + 432x^3 - 216x^5 + 48x^7 - 4x^9
= 324x - 144x^5 + 48x^7 - 4x^9
x
integral0^raiz3 (324x - 144x^5 + 48x^7 - 4x^9) , dx = 324 [ x^22 ]0^raiz3 - 144 [ x^66 ]0^raiz3 + 48 [ x^88 ]0^raiz3 - 4 [ x^1010 ]0^raiz3
= 324 ( 32 ) - 144 ( (3)^36 ) + 48 ( (3)^48 ) - 4 ( (3)^510 )
Portanto, a massa do sólido $ S $ é:
= 486 - 144 ( 276 ) + 48 ( 818 ) - 4 ( 24310 )

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