Exercício 2) Escreva, de seis formas distintas, as integrais triplas em coordenadas cartesianas que permitem calcular a massa do sólido
situado no primeiro octante e delimitado simultaneamente pelas superfícies cilíndricas
sabendo que a densidade de massa do sólido é dada por
A seguir, escolha uma das formas obtidas para calcular o valor numérico da massa do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar seis maneiras diferentes de escrever integrais triplas em coordenadas cartesianas para calcular a massa de um sólido $ S $ que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado por duas superfícies cilíndricas dadas por:
Além disso, a densidade de massa do sólido é dada pela função:
Então, vamos precisar entender como montar as integrais triplas nessas coordenadas para calcular a massa, considerando os limites de integração definidos pelas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “primeiro octante”. O primeiro octante é a região do espaço onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos. Ou seja, $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $.
Passo 3
Agora, vamos analisar as superfícies que delimitam o sólido.
-
Superfície cilíndrica $ 4y^{2} + z^{2} = 36 $:
- Podemos reescrever essa equação para facilitar:
- Isso nos dá o limite superior para $ z $ em termos de $ y $.
- Podemos reescrever essa equação para facilitar:
-
Superfície parabólica $ y = 3 - x^{2} $:
- Essa equação nos dá o limite máximo para $ y $ em termos de $ x $.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
-
Para $ x $:
- No primeiro octante, $ x $ varia de 0 até o ponto onde $ y = 0 $:
Então, $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{3} $.
- No primeiro octante, $ x $ varia de 0 até o ponto onde $ y = 0 $:
-
Para $ y $:
- Para um valor fixo de $ x $, $ y $ varia de 0 até $ 3 - x^{2} $.
-
Para $ z $:
- Para valores fixos de $ x $ e $ y $, $ z $ varia de 0 até $ \sqrt{36 - 4y^{2}} $.
Passo 5
Com esses limites, podemos escrever uma das formas da integral tripla para a massa $ M $:
Passo 6
Agora, vamos construir as outras cinco formas rearranjando a ordem das integrais. Por exemplo:
- Integrando em ordem $ dz , dx , dy $:
- Integrando em ordem $ dy , dz , dx $:
- Integrando em ordem $ dz , dy , dx $:
- Integrando em ordem $ dx , dy , dz $:
- Integrando em ordem $ dx , dz , dy $:
Resposta
Escolhendo a primeira forma para calcular a massa:
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integração em $ z $:
- Integração em $ y $:
- Integração em $ x $:
Portanto, a massa do sólido $ S $ é: