Determine as derivadas panciais das funceés: rho=sen 2 theta cos 3 varphi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais da função rho = sin(2theta) cos(3varphi). Isso significa que vamos encontrar como rho muda em relação a cada uma das variáveis theta e varphi. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções trigonométricas e entender o que são derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de rho em relação a theta, ou seja, partial rhopartial theta.
A função dada é rho = sin(2theta) cos(3varphi). Quando derivamos em relação a theta, tratamos varphi como uma constante.
Usamos a regra da derivada de um produto e a derivada da função seno:
partial rhopartial theta = ddtheta [sin(2theta)] cdot cos(3varphi)
Sabemos que:
ddtheta sin(2theta) = 2cos(2theta)
Então:
partial rhopartial theta = 2cos(2theta) cdot cos(3varphi)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de rho em relação a varphi, ou seja, partial rhopartial varphi.
Novamente, a função é rho = sin(2theta) cos(3varphi). Desta vez, tratamos theta como uma constante ao derivar em relação a varphi.
Usamos a regra da derivada da função cosseno:
partial rhopartial varphi = sin(2theta) cdot ddvarphi [cos(3varphi)]
Sabemos que:
ddvarphi cos(3varphi) = -3sin(3varphi)
Então:
partial rhopartial varphi = sin(2theta) cdot (-3sin(3varphi)) = -3sin(2theta)sin(3varphi)

Resposta

As derivadas parciais da função rho = sin(2theta) cos(3varphi) são:
partial rhopartial theta = 2cos(2theta) cos(3varphi)
partial rhopartial varphi = -3sin(2theta) sin(3varphi)

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