Resolva as equações diferenciais a seguir.
3 y^prime prime prime-13 y^prime prime+19 y^prime-5 y=0

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial de terceira ordem com coeficientes constantes
3y''' - 13y'' + 19y' - 5y = 0
O conteúdo aqui é usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Substituindo a hipótese padrão y = e^rt na equação, chegamos ao polinômio característico
3r^3 - 13r^2 + 19r - 5 = 0
A partir daí, precisamos achar as raízes desse polinômio.

Passo 3

Testamos raízes racionais pelo teorema das raízes possíveis e vemos que r = tfrac13 zera o polinômio. Fazendo a divisão por (r - tfrac13), obtemos
(r - tfrac13)(3r^2 - 12r + 15) = 0
A equação quadrática
3r^2 - 12r + 15 = 0
fornece as raízes
r = 12 pm raiz144 - 1806 = 2 pm i

Passo 4

Temos uma raiz real r1 = tfrac13 e um par de raízes complexas conjugadas r2,3 = 2 pm i. Então a solução geral é dado pela combinação
y(t) = C1 e^t/3 + e^2tl(C2 cos t + C3 sin tr),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é y(t)=C1e^t/3+e^2t(C2cos t+C3sin t).

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