Determine as derivadas panciais das funceés: f(x cdot y)=3 x^4-4 x^3 y+6 x^2 y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=3x^4-4x^3y+6x^2y^2
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para isso vamos usar a definição de derivada parcial, aplicando as regras usuais de diferenciação (regra da potência, regra do produto e linearidade), tratando a outra variável como constante em cada caso.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y como constante e derivamos termo a termo:
  • 3x^4 ,12x^3.
  • -4x^3y -4ycdot 3x^2=-12x^2y.
  • 6x^2y^2 6y^2cdot 2x=12xy^2.
Logo,
partial fpartial x =12x^3-12x^2y+12x,y^2

Passo 3

Para calcular partial fpartial y tratamos x como constante:
  • 3x^4 0 (não depende de y).
  • -4x^3y -4x^3.
  • 6x^2y^2 6x^2cdot 2y=12x^2y.
Logo,
partial fpartial y =-4x^3+12x^2y

Resposta

partial fpartial x=12x^3-12x^2y+12x,y^2
partial fpartial y=-4x^3+12x^2y

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