(a) Resolver o seguinte PVI de Cauchy-Euller homogêneo x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0, y(1)=1, y^prime(1)=4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de Euler–Cauchy
x^2y''-2x,y'+2y=0,
com as condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=4. Para equações de tipo Euler–Cauchy, a ideia é testar uma solução da forma
y=x^m

Passo 2

Supondo y=x^m, temos
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação:
x^2l[m(m-1)x^m-2r]-2xl[mx^m-1r]+2,x^m =l[m(m-1)-2m+2r]x^m=0
Como x^mneq0, a equação característica é
m(m-1)-2m+2=0 ;Longrightarrow; m^2-3m+2=0 ;Longrightarrow; m=1ou m=2

Passo 3

Daí a solução geral do problema homogêneo é
y(x)=C1,x^1+C2,x^2=C1x+C2x^2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais em
Resolvendo o sistema
obtemos .

Resposta

y(x)=-2x+3x^2

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