Nos Exercícios de 21 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim s 4 3 s^2-8 s-162 s^2-9 s+4

Passo 1

O enunciado pede calcular
limsto43s^2-8s-162s^2-9s+4
O conteúdo é “limites de funções racionais”. Vamos usar:
– Teorema da Substituição para testar a forma da expressão,
– Teorema do Fator Comum para tratar a forma indeterminada 0/0,
– Teorema do Quociente de Funções Contínuas para obter o valor do limite após simplificação.

Passo 2

Aplicando substituição direta ( s=4) no numerador e no denominador:
3cdot4^2-8cdot4-16=48-32-16=0, 2cdot4^2-9cdot4+4=32-36+4=0,
obtemos forma indeterminada 0/0, então não podemos usar ainda o Teorema da Substituição para quociente.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador para eliminar o fator comum s-4:
3s^2-8s-16=3(s-4)l(s+tfrac43r), 2s^2-9s+4=2(s-4)l(s-tfrac12r)

Passo 4

Cancelamos o fator (s-4) (válido para sneq4) e obtemos
3s^2-8s-162s^2-9s+4 =3(s-4)(s+tfrac43)2(s-4)(s-tfrac12) =3l(s+tfrac43r)2l(s-tfrac12r)

Passo 5

A função simplificada 3(s+tfrac43)2(s-tfrac12) é contínua em s=4 (denominador neq0). Pelo Teorema do Quociente de Funções Contínuas, podemos substituir s=4:
limsto43(s+tfrac43)2(s-tfrac12) =3l(4+tfrac43r)2l(4-tfrac12r) =3cdot1632cdot72 =167

Resposta

167

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