Determine as derivadas Parciais
f(x, y)=(3 x^3+2 y^5) cdot ln (2 x^5+3 y^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) = (3x^3 + 2y^5) cdot ln(2x^5 + 3y^3) . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, onde a gente vai derivar a função em relação a x e depois em relação a y . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
Primeiro, identifique as partes da função que vamos derivar:
  • u(x, y) = 3x^3 + 2y^5
  • v(x, y) = ln(2x^5 + 3y^3)
A gente vai usar a regra do produto, que diz que se f = u cdot v , então partial fpartial x = partial upartial x cdot v + u cdot partial vpartial x .

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de u em relação a x :
partial upartial x = partialpartial x(3x^3 + 2y^5) = 9x^2
Aqui, lembramos que quando derivamos em relação a x , y é tratado como uma constante.
  1. Derivada de v em relação a x :
partial vpartial x = partialpartial x ln(2x^5 + 3y^3) = 12x^5 + 3y^3 cdot 10x^4
Utilizamos a regra da cadeia: a derivada de ln(g(x)) é g'(x)g(x) . Aqui, g(x) = 2x^5 + 3y^3 e g'(x) = 10x^4 .

Passo 4

Agora, juntando tudo na regra do produto:
partial fpartial x = 9x^2 cdot ln(2x^5 + 3y^3) + (3x^3 + 2y^5) cdot 10x^42x^5 + 3y^3

Passo 5

Agora vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Usamos novamente a regra do produto:
partial fpartial y = partial upartial y cdot v + u cdot partial vpartial y
  1. Derivada de u em relação a y :
partial upartial y = partialpartial y(3x^3 + 2y^5) = 10y^4
  1. Derivada de v em relação a y :
partial vpartial y = partialpartial y ln(2x^5 + 3y^3) = 12x^5 + 3y^3 cdot 9y^2

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) são:
partial fpartial x = 9x^2 cdot ln(2x^5 + 3y^3) + (3x^3 + 2y^5) cdot 10x^42x^5 + 3y^3
e
partial fpartial y = 10y^4 cdot ln(2x^5 + 3y^3) + (3x^3 + 2y^5) cdot 9y^22x^5 + 3y^3

Exercícios relacionados