Determine a massa da lâmina localizada sobre a parte da superfície
no primeiro octante cuja densidade superficial é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a massa de uma lâmina que está sobre a parte da superfície definida pela equação
no primeiro octante. A densidade dessa lâmina é dada por
. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas sobre superfícies, além de entender como parametrizar a região no primeiro octante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar no primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde todas as coordenadas
,
e
são positivas. Então, nossa superfície
será limitada por
,
e
.
Passo 3
Para calcular a massa da lâmina, precisamos integrar a densidade
sobre a superfície. A massa
é dada por:
Aqui,
é o elemento de área da superfície.
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
e
a partir da equação da superfície:
Assim, podemos parametrizar a superfície usando
e
como variáveis.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os limites de integração para
e
. No primeiro octante,
, então:
Isso significa que para cada
,
varia de 0 até
, e
varia de 0 até 2.
Passo 6
O próximo passo é calcular o elemento de área
. Para uma superfície
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na integral de massa:
Onde
é a região
e
.
Passo 8
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Calculando as integrais:
Então:
Substituindo
:
Substituindo
dá zero, então:
Resposta
A massa da lâmina é
unidades de massa.