Determine a massa da lâmina localizada sobre a parte da superfície 4 x+2 y+z=8 no primeiro octante cuja densidade superficial é dada por:
rho(x, y, z)=x z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a massa de uma lâmina que está sobre a parte da superfície definida pela equação 4x + 2y + z = 8 no primeiro octante. A densidade dessa lâmina é dada por rho(x, y, z) = x z. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas sobre superfícies, além de entender como parametrizar a região no primeiro octante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar no primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde todas as coordenadas x, y e z são positivas. Então, nossa superfície 4x + 2y + z = 8 será limitada por x >= 0, y >= 0 e z >= 0.

Passo 3

Para calcular a massa da lâmina, precisamos integrar a densidade rho(x, y, z) sobre a superfície. A massa M é dada por:
M = integral duplaS rho(x, y, z) , dS
Aqui, dS é o elemento de área da superfície.

Passo 4

Vamos expressar z em termos de x e y a partir da equação da superfície:
z = 8 - 4x - 2y
Assim, podemos parametrizar a superfície usando x e y como variáveis.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para x e y. No primeiro octante, z >= 0, então:
8 - 4x - 2y >= 0 Rightarrow 4x + 2y <= 8 Rightarrow 2x + y <= 4
Isso significa que para cada x, y varia de 0 até 4 - 2x, e x varia de 0 até 2.

Passo 6

O próximo passo é calcular o elemento de área dS. Para uma superfície z = f(x, y), temos:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = -4 e partial zpartial y = -2
Então:
dS = raiz1 + (-4)^2 + (-2)^2 , dx , dy = raiz1 + 16 + 4 , dx , dy = raiz21 , dx , dy

Passo 7

Agora, substituímos rho(x, y, z) e z na integral de massa:
M = integral duplaD x z raiz21 , dx , dy = raiz21 integral duplaD x (8 - 4x - 2y) , dx , dy
Onde D é a região 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 4 - 2x.

Passo 8

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
x (8 - 4x - 2y) = 8x - 4x^2 - 2x y
Então, a integral fica:
M = raiz21 integral duplaD (8x - 4x^2 - 2x y) , dx , dy

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^4 - 2x (8x - 4x^2 - 2x y) , dy = [8x y - 4x^2 y - x y^2 ]0^4 - 2x
Substituindo os limites:
8x (4 - 2x) - 4x^2 (4 - 2x) - x (4 - 2x)^2
Simplificando:
32x - 16x^2 - 16x^2 + 8x^3 - x (16 - 16x + 4x^2) = 32x - 32x^2 + 8x^3 - 16x + 16x^2 - 4x^3 = 16x - 16x^2 + 4x^3

Passo 10

Agora, integramos em relação a x:
M = raiz21 integral0^2 (16x - 16x^2 + 4x^3) , dx
Calculando as integrais:
16 integral x , dx = 16 (x^22) = 8x^2
-16 integral x^2 , dx = -16 (x^33) = -163x^3
4 integral x^3 , dx = 4 (x^44) = x^4
Então:
M = raiz21 [8x^2 - 163x^3 + x^4 ]0^2
Substituindo x = 2:
8(4) - 163(8) + 16 = 32 - 1283 + 16 = 48 - 1283 = 144 - 1283 = 163
Substituindo x = 0 dá zero, então:
M = raiz21 cdot 163 = 16 raiz213

Resposta

A massa da lâmina é dfrac16 raiz213 unidades de massa.

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