Determine os valores de A e B que satisfazem a seguinte equação trigonométrica:
(-4 A sin 2 x-4 B cos 2 x)-(2 A cos 2 x-2 B sin 2 x)-2(A sin 2 x+B cos 2 x)=sin 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação trigonométrica juntos! A questão pede para encontrar os valores de A e B que satisfazem a seguinte equação:
(-4 A sin 2 x - 4 B cos 2 x) - (2 A cos 2 x - 2 B sin 2 x) - 2(A sin 2 x + B cos 2 x) = sin 2 x
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas e manipular a equação para encontrar os valores de A e B .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão à esquerda da igualdade. Vamos expandir os termos:
-4 A sin 2x - 4 B cos 2x - 2 A cos 2x + 2 B sin 2x - 2 A sin 2x - 2 B cos 2x

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os que têm sin 2x e os que têm cos 2x :
Para sin 2x :
-4 A sin 2x + 2 B sin 2x - 2 A sin 2x = (-4A - 2A + 2B) sin 2x = (-6A + 2B) sin 2x
Para cos 2x :
-4 B cos 2x - 2 A cos 2x - 2 B cos 2x = (-4B - 2A - 2B) cos 2x = (-6B - 2A) cos 2x

Passo 4

Substituindo de volta na equação original, temos:
(-6A + 2B) sin 2x + (-6B - 2A) cos 2x = sin 2x

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de x , os coeficientes de sin 2x e cos 2x nas duas expressões devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Coeficiente de sin 2x :
-6A + 2B = 1
  1. Coeficiente de cos 2x :
-6B - 2A = 0

Passo 6

Vamos resolver o segundo sistema primeiro:
-6B - 2A = 0 Rightarrow -2A = 6B Rightarrow A = -3B

Passo 7

Agora, substituímos A = -3B na primeira equação:
-6(-3B) + 2B = 1 18B + 2B = 1 20B = 1 B = 120

Passo 8

Com o valor de B , encontramos A :
A = -3B = -3 ( 120 ) = -320

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
A = -320 e B = 120

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