Sejam
e
definidas no intervalo
e a valores em
. Suppor que
. Provar que
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Temos duas funções
e
definidas em
com valores em
. Sabemos que
. Queremos mostrar que
e
. O conteúdo envolvido é limite de funções e o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).
Passo 2
Observação das desigualdades: Como
e
estão em
, temos
Multiplicando essa desigualdade por
e por
, obtemos duas cadeias:
Passo 3
Aplicação do Teorema do Confronto a
: Sabendo que
, para qualquer
existe
tal que
sempre que
. Isso implica
Pela desigualdade acima, temos
sempre que
. Logo
.
Passo 4
Aplicação do Teorema do Confronto a
: De modo análogo, da cadeia
vem
para
. Portanto
.