Sejam f e g definidas no intervalo [-1,1] e a valores em [0,1]. Suppor que lim x 0 f(x) g(x)=1. Provar que lim x 0 f(x)=1 e lim x 0 g(x)=1.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos duas funções f e g definidas em [-1,1] com valores em [0,1]. Sabemos que limxto0f(x)g(x)=1. Queremos mostrar que limxto0f(x)=1 e limxto0g(x)=1. O conteúdo envolvido é limite de funções e o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Observação das desigualdades: Como f(x) e g(x) estão em [0,1], temos
f(x)<=1, g(x)<=1
Multiplicando essa desigualdade por g(x)>=0 e por f(x)>=0, obtemos duas cadeias:
f(x)g(x)<= g(x)<=1,
f(x)g(x)<= f(x)<=1

Passo 3

Aplicação do Teorema do Confronto a g(x): Sabendo que limxto0f(x)g(x)=1, para qualquer varepsilon>0 existe de0 tal que
|f(x)g(x)-1|
sempre que |x|. Isso implica
1-varepsilon
Pela desigualdade acima, temos
|g(x)-1|
sempre que |x|. Logo limxto0g(x)=1.

Passo 4

Aplicação do Teorema do Confronto a f(x): De modo análogo, da cadeia
1-varepsilon
vem
|f(x)-1|
para |x|. Portanto limxto0f(x)=1.

Resposta

limxto0f(x)=1 e limxto0g(x)=1.

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