Determine partial fpartial x e partial fpartial y sendo f(x, y)=rllx^3 yx^6+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0) .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3yx^6+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y. Para (x,y)neq(0,0) usaremos a regra do quociente, e em (0,0) usaremos a definição de derivada parcial como limite.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), escrevemos
f(x,y)=u(x,y)v(x,y), u(x,y)=x^3y, v(x,y)=x^6+y^2
Pela regra do quociente,
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2
Calculando ux=3x^2y e vx=6x^5, obtemos
partial fpartial x =3x^2y,(x^6+y^2)-x^3ycdot6x^5(x^6+y^2)^2 =3x^2y(x^6+y^2)-6x^8y(x^6+y^2)^2 =3x^2yl(y^2-x^6r)(x^6+y^2)^2

Passo 3

De modo análogo, para (x,y)neq(0,0) usamos
partial fpartial y =uy,v - u,vyv^2,
onde uy=x^3 e vy=2y. Logo
partial fpartial y =x^3,(x^6+y^2)-x^3ycdot2y(x^6+y^2)^2 =x^3(x^6+y^2)-2x^3y^2(x^6+y^2)^2 =x^3l(x^6-y^2r)(x^6+y^2)^2

Passo 4

Em (0,0), definimos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=0 para hneq0. Similarmente
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =3x^2yl(y^2-x^6r)(x^6+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =x^3l(x^6-y^2r)(x^6+y^2)^2
Em (0,0):
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

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