Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede as derivadas parciais até a segunda ordem (ou seja:
,
,
,
,
).
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A expressão interna da raiz é
. - A função está definida apenas quando
(domínio onde a raiz é real). - As variáveis independentes são
e .
Passo 2
Relembrando regras básicas que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
- Para derivada parcial em relação a
, trata-se como constante; para derivada parcial em relação a , trata-se como constante. - Regra da cadeia (versão para variáveis): se
com função de , então
- Derivada de raiz quadrada: se
, então . - Regra do produto:
. - Regra da potência para
: .
Aplicando isso aqui, vamos tomar
e
. Em todo passo vou mostrar explicitamente cada derivada de
e cada aplicação da cadeia/produto.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(estas são simples e aparecem em todas as contas):
Explicação: ao derivar
em relação a
vem
; ao derivar
em relação a
dá
porque
é tratado como constante. Análogo para derivação em
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia com
e
.
Para
:
Simplificando:
Comentário didático: o fator
vem da derivada de
em relação a
; dividir por
é a derivada de
.
Para
:
Simplificando:
Passo 5
Agora vamos escrever as derivadas de primeira ordem de forma conveniente para derivar de novo. Definindo
(lembrando que
no domínio interior),
Isto facilita aplicar produto e cadeia para as segundas derivadas.
Passo 6
Calcular
(derivar
em relação a
).
Começando de
, aplicamos a regra do produto (derivar
e
):
Calcule cada parte:
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
, multiplicando por
dá
. Assim
Colocando em denominar comum
:
Substituindo
e simplificando o numerador:
Portanto
Passo 7
Calcular a derivada mista
(derivar
em relação a
). Partimos de
. Aqui
é constante em relação a
, então só aplica-se a cadeia sobre
:
Usando
, temos
Substituindo
de volta:
Observação prática: se calcularmos
(primeiro em
depois em
) obteremos o mesmo valor, pois a função é suficientemente suave no domínio (as derivadas segundas são contínuas onde
).
Passo 8
Calcular
(derivar
em relação a
). Partimos de
. Aplicando produto e cadeia:
Calculando:
Substituindo:
Colocando em denominar comum
:
Como
, obtemos uma simplificação bonita: