Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
f(x, y)=\sqrt{2 x^{3}-3 y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\sqrt{2x^{3}-3y^{2}}
e pede as derivadas parciais até a segunda ordem (ou seja: \partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial^{2}f/\partial x^{2}, \partial^{2}f/\partial x\partial y, \partial^{2}f/\partial y^{2}).
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão interna da raiz é 2x^{3}-3y^{2}.
  • A função está definida apenas quando 2x^{3}-3y^{2}\ge 0 (domínio onde a raiz é real).
  • As variáveis independentes são x e y.

Passo 2

Relembrando regras básicas que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
  • Para derivada parcial em relação a x, trata-se y como constante; para derivada parcial em relação a y, trata-se x como constante.
  • Regra da cadeia (versão para variáveis): se f(x,y)=g(u(x,y)) com u função de x,y, então
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Derivada de raiz quadrada: se g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}, então g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Regra do produto: \partial(AB)/\partial x = (\partial A/\partial x)B + A(\partial B/\partial x).
  • Regra da potência para u^{\alpha}: \partial(u^{\alpha})/\partial x=\alpha u^{\alpha-1}\cdot \partial u/\partial x.
Aplicando isso aqui, vamos tomar u(x,y)=2x^{3}-3y^{2} e f(x,y)=u(x,y)^{1/2}. Em todo passo vou mostrar explicitamente cada derivada de u e cada aplicação da cadeia/produto.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u(x,y)=2x^{3}-3y^{2} (estas são simples e aparecem em todas as contas):
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)=6x^{2}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)=-6y.
Explicação: ao derivar 2x^{3} em relação a x vem 3\cdot2x^{2}=6x^{2}; ao derivar -3y^{2} em relação a x 0 porque y é tratado como constante. Análogo para derivação em y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia com g(u)=u^{1/2} e g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}.
Para \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot 6x^{2}.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{6x^{2}}{2\sqrt{u}}=\frac{3x^{2}}{\sqrt{2x^{3}-3y^{2}}}.
Comentário didático: o fator 6x^{2} vem da derivada de u em relação a x; dividir por 2\sqrt{u} é a derivada de \sqrt{u}.
Para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot(-6y).
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-6y}{2\sqrt{u}}=\frac{-3y}{\sqrt{2x^{3}-3y^{2}}}.

Passo 5

Agora vamos escrever as derivadas de primeira ordem de forma conveniente para derivar de novo. Definindo u=2x^{3}-3y^{2} (lembrando que u>0 no domínio interior),
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}u^{-1/2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-3y\,u^{-1/2}.
Isto facilita aplicar produto e cadeia para as segundas derivadas.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (derivar \partial f/\partial x em relação a x).
Começando de \partial f/\partial x = 3x^{2}u^{-1/2}, aplicamos a regra do produto (derivar 3x^{2} e u^{-1/2}):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})\cdot u^{-1/2} + 3x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u^{-1/2}\bigr).
Calcule cada parte:
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})=6x, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(u^{-1/2}\bigr)=(-\tfrac{1}{2})u^{-3/2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=(-\tfrac{1}{2})u^{-3/2}\cdot 6x^{2}.
Substituindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x\,u^{-1/2} + 3x^{2}\cdot\bigl((-\tfrac{1}{2})u^{-3/2}\cdot 6x^{2}\bigr).
Simplificando o segundo termo: (-\tfrac{1}{2})\cdot 6x^{2}=-3x^{2}, multiplicando por 3x^{2} -9x^{4}. Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x\,u^{-1/2}-9x^{4}u^{-3/2}.
Colocando em denominar comum u^{3/2}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{6x\,u-9x^{4}}{u^{3/2}}.
Substituindo u=2x^{3}-3y^{2} e simplificando o numerador:
6x\,u-9x^{4}=6x(2x^{3}-3y^{2})-9x^{4}=12x^{4}-18xy^{2}-9x^{4}=3x^{4}-18xy^{2}=3x(x^{3}-6y^{2}).
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{3x\bigl(x^{3}-6y^{2}\bigr)}{\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 7

Calcular a derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (derivar \partial f/\partial x em relação a y). Partimos de \partial f/\partial x=3x^{2}u^{-1/2}. Aqui 3x^{2} é constante em relação a y, então só aplica-se a cadeia sobre u^{-1/2}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=3x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(u^{-1/2}\bigr)=3x^{2}\cdot\bigl((-\tfrac{1}{2})u^{-3/2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}\bigr).
Usando \partial u/\partial y=-6y, temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=3x^{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})u^{-3/2}\cdot(-6y)=3x^{2}\cdot 3y\,u^{-3/2}=9x^{2}y\,u^{-3/2}.
Substituindo u de volta:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{9x^{2}y}{\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)^{3/2}}.
Observação prática: se calcularmos \partial^{2}f/\partial x\partial y (primeiro em y depois em x) obteremos o mesmo valor, pois a função é suficientemente suave no domínio (as derivadas segundas são contínuas onde u>0).

Passo 8

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (derivar \partial f/\partial y em relação a y). Partimos de \partial f/\partial y=-3y\,u^{-1/2}. Aplicando produto e cadeia:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}(-3y)\cdot u^{-1/2} + (-3y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(u^{-1/2}\bigr).
Calculando:
\frac{\partial}{\partial y}(-3y)=-3, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(u^{-1/2}\bigr)=(-\tfrac{1}{2})u^{-3/2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=(-\tfrac{1}{2})u^{-3/2}\cdot(-6y)=3y\,u^{-3/2}.
Substituindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-3\,u^{-1/2}+(-3y)\cdot(3y\,u^{-3/2})=-3\,u^{-1/2}-9y^{2}u^{-3/2}.
Colocando em denominar comum u^{3/2}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{-3u-9y^{2}}{u^{3/2}}=-3\frac{u+3y^{2}}{u^{3/2}}.
Como u+3y^{2}=(2x^{3}-3y^{2})+3y^{2}=2x^{3}, obtemos uma simplificação bonita:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{-6x^{3}}{\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{3x^{2}}{\sqrt{2x^{3}-3y^{2}}}
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-3y}{\sqrt{2x^{3}-3y^{2}}}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{3x\bigl(x^{3}-6y^{2}\bigr)}{\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)^{3/2}}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{9x^{2}y}{\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)^{3/2}}
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{-6x^{3}}{\bigl(2x^{3}-3y^{2}\bigr)^{3/2}}

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