Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
f(x, y)=\cos \left(x y^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais até segunda ordem da função de duas variáveis dada. Ou seja, encontrar:
  • as derivadas parciais de primeira ordem \,f_x(x,y) e f_y(x,y),
  • as derivadas parciais de segunda ordem \,f_{xx}(x,y), f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y) e f_{yy}(x,y).
Informação dada:
  • A função é f(x,y)=\cos\!\big(xy^{2}\big).
  • Não há restrições de domínio além das usuais (produto e cosseno definidos para todos x,y\in\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrete (definição) — o que significa derivada parcial:
  • A derivada parcial \,f_x(x,y) é a taxa de variação de f em relação a x mantendo y fixo. Analogamente, \,f_y(x,y) é a taxa de variação de f em relação a y mantendo x fixo.
  • Em notação: \displaystyle f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} e similar para f_y.

Passo 3

Lembrete (regra de cadeia): quando f é composição f(x,y)=g(u(x,y)), vale
f_x = g'(u)\,u_x \qquad\text{e}\qquad f_y = g'(u)\,u_y,
ou seja, deriva-se a função externa g (evaluada em u) e multiplica-se pela derivada da função interior u em relação à variável considerada.
Aqui é natural definir a função interior
u(x,y)=x y^{2}.
A função externa é g(u)=\cos(u), cuja derivada é g'(u)=-\sin(u).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra de cadeia.
Primeiro, as derivadas de u(x,y)=x y^{2}:
u_x(x,y)=y^{2},\qquad u_y(x,y)=2x y.
Aplicando a regra de cadeia para f(x,y)=\cos(u(x,y)):
f_x(x,y)=g'(u)\,u_x=-\sin\!\big(u(x,y)\big)\cdot y^{2}.
Substituindo u(x,y)=x y^{2}:
f_x(x,y)=-y^{2}\sin\!\big(xy^{2}\big).

Passo 5

Agora f_y, mesma ideia:
f_y(x,y)=g'(u)\,u_y=-\sin\!\big(u(x,y)\big)\cdot(2x y).
Substituindo u:
f_y(x,y)=-2x y\sin\!\big(xy^{2}\big).

Passo 6

Preparação para as segundas derivadas — regras a usar:
  • Regra do produto: se h(y)=p(y)q(y) então h'(y)=p'(y)q(y)+p(y)q'(y).
  • Ao diferenciar funções tipo \sin(u(x,y)) ou \cos(u(x,y)) novamente, usa-se novamente a regra de cadeia: por exemplo \dfrac{\partial}{\partial x}\sin(u)=\cos(u)\,u_x.
  • Ao diferenciar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.

Passo 7

Calcular \,f_{xx}(x,y) derivando f_x(x,y)=-y^{2}\sin\!\big(xy^{2}\big) em relação a x (com y constante).
Tratamento: y^{2} é constante quando derivamos em x. Logo
f_{xx}(x,y)=-y^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\sin\!\big(xy^{2}\big).
Pela regra de cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\sin\!\big(xy^{2}\big)=\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy^{2})=\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot y^{2}.
Portanto
f_{xx}(x,y)=-y^{2}\cdot\big(\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot y^{2}\big)=-y^{4}\cos\!\big(xy^{2}\big).

Passo 8

Calcular a mista \,f_{xy}(x,y) derivando f_x(x,y)=-y^{2}\sin\!\big(xy^{2}\big) em relação a y.
Aqui uso a regra do produto com as duas partes: p(y)=-y^{2} e q(y)=\sin\!\big(xy^{2}\big).
  • p'(y)=-2y.
  • Para q'(y) usamos a regra de cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}\sin\!\big(xy^{2}\big)=\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(xy^{2})=\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot 2x y.
Aplicando produto:
f_{xy}(x,y)=p'(y)q(y)+p(y)q'(y) = (-2y)\sin\!\big(xy^{2}\big) + (-y^{2})\big(\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot 2x y\big).
Simplificando:
f_{xy}(x,y)=-2y\sin\!\big(xy^{2}\big)-2x y^{3}\cos\!\big(xy^{2}\big).
Opcionalmente pode-se fatorar -2y:
f_{xy}(x,y)=-2y\Big(\sin\!\big(xy^{2}\big)+x y^{2}\cos\!\big(xy^{2}\big)\Big).

Passo 9

Calcular \,f_{yy}(x,y) derivando f_y(x,y)=-2x y\sin\!\big(xy^{2}\big) em relação a y.
De novo é produto: r(y)=-2x y e s(y)=\sin\!\big(xy^{2}\big).
  • r'(y)=-2x.
  • s'(y)=\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot 2x y (regra de cadeia).
Aplicando produto:
f_{yy}(x,y)=r'(y)s(y)+r(y)s'(y)=(-2x)\sin\!\big(xy^{2}\big)+(-2x y)\big(\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot 2x y\big).
Simplificando o segundo termo:
(-2x y)\cdot(2x y)\cos\!\big(xy^{2}\big) = -4x^{2}y^{2}\cos\!\big(xy^{2}\big).
Assim
f_{yy}(x,y)=-2x\sin\!\big(xy^{2}\big)-4x^{2}y^{2}\cos\!\big(xy^{2}\big).

Passo 10

Verificação da igualdade dos mistas (Clairaut): calcular f_{yx} diferenciando f_y em relação a x produz o mesmo resultado que f_{xy}.
Derivando f_y=-2x y\sin\!\big(xy^{2}\big) em x:
  • termo -2y\sin\!\big(xy^{2}\big) vem da derivada de -2x y (que é -2y) vezes \sin,
  • mais o termo -2x y\cdot\cos\!\big(xy^{2}\big)\cdot y^{2} pela cadeia (pois \partial_x(xy^{2})=y^{2}).
    Isso dá exatamente
f_{yx}(x,y)=-2y\sin\!\big(xy^{2}\big)-2x y^{3}\cos\!\big(xy^{2}\big),
igual a f_{xy} encontrado no passo anterior. Como as funções envolvidas são suaves, as mistas coincidem.

Resposta

f_x(x,y)=-y^{2}\sin\!\big(xy^{2}\big)
f_y(x,y)=-2x y\sin\!\big(xy^{2}\big)
f_{xx}(x,y)=-y^{4}\cos\!\big(xy^{2}\big)
f_{xy}(x,y)=-2y\sin\!\big(xy^{2}\big)-2x y^{3}\cos\!\big(xy^{2}\big)
f_{yx}(x,y)=-2y\sin\!\big(xy^{2}\big)-2x y^{3}\cos\!\big(xy^{2}\big)
f_{yy}(x,y)=-2x\sin\!\big(xy^{2}\big)-4x^{2}y^{2}\cos\!\big(xy^{2}\big)

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