Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de duas variáveis.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais até segunda ordem da função de duas variáveis dada. Ou seja, encontrar:
- as derivadas parciais de primeira ordem
e , - as derivadas parciais de segunda ordem
, , e .
Informação dada:
- A função é
. - Não há restrições de domínio além das usuais (produto e cosseno definidos para todos
).
Passo 2
Lembrete (definição) — o que significa derivada parcial:
- A derivada parcial
é a taxa de variação de em relação a mantendo fixo. Analogamente, é a taxa de variação de em relação a mantendo fixo. - Em notação:
e similar para .
Passo 3
Lembrete (regra de cadeia): quando
é composição
, vale
ou seja, deriva-se a função externa
(evaluada em
) e multiplica-se pela derivada da função interior
em relação à variável considerada.
Aqui é natural definir a função interior
A função externa é
, cuja derivada é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra de cadeia.
Primeiro, as derivadas de
:
Aplicando a regra de cadeia para
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora
, mesma ideia:
Substituindo
:
Passo 6
Preparação para as segundas derivadas — regras a usar:
- Regra do produto: se
então . - Ao diferenciar funções tipo
ou novamente, usa-se novamente a regra de cadeia: por exemplo . - Ao diferenciar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.
Passo 7
Calcular
derivando
em relação a
(com
constante).
Tratamento:
é constante quando derivamos em
. Logo
Pela regra de cadeia,
Portanto
Passo 8
Calcular a mista
derivando
em relação a
.
Aqui uso a regra do produto com as duas partes:
e
.
-
. - Para
usamos a regra de cadeia: .
Aplicando produto:
Simplificando:
Opcionalmente pode-se fatorar
:
Passo 9
Calcular
derivando
em relação a
.
De novo é produto:
e
.
-
. -
(regra de cadeia).
Aplicando produto:
Simplificando o segundo termo:
Assim
Passo 10
Verificação da igualdade dos mistas (Clairaut): calcular
diferenciando
em relação a
produz o mesmo resultado que
.
Derivando
em
:
- termo
vem da derivada de (que é ) vezes , - mais o termo
pela cadeia (pois ).
Isso dá exatamente
igual a
encontrado no passo anterior. Como as funções envolvidas são suaves, as mistas coincidem.