Determine as derivadas parciais de 1^circ ordem das funções abaixo:
z=5 x y-x^2.
f(x, y)=y^5-3 x y
f(x, y)=x^4 y^3+8 x^2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais: para cada função de duas variáveis, usamos a regra da potência e, quando necessário, a regra do produto, tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Para z = 5 x y - x^2, vamos achar partial zpartial x e partial zpartial y.
Derivando em relação a x (com y constante):
partial zpartial x = partialpartial x(5 x y) ;-;partialpartial x(x^2) = 5,y ;-;2,x
Derivando em relação a y (com x constante):
partial zpartial y = partialpartial y(5 x y) ;-;partialpartial y(x^2) = 5,x ;-;0 = 5,x

Passo 3

Para f(x,y)=y^5-3xy, calculamos partial fpartial x e partial fpartial y.
Em relação a x (com y constante):
partial fpartial x = partialpartial x(y^5) ;-;partialpartial x(3xy) = 0 ;-;3,y = -3,y
Em relação a y (com x constante):
partial fpartial y = partialpartial y(y^5) ;-;partialpartial y(3xy) = 5,y^4 ;-;3,x

Passo 4

Para f(x,y)=x^4y^3+8x^2y, obtemos partial fpartial x e partial fpartial y.
Em relação a x (com y constante), aplicamos a regra do produto e a potência:
partial fpartial x = partialpartial xl(x^4y^3r) + partialpartial xl(8x^2yr) = 4,x^3y^3 + 8cdot2,x,y = 4x^3y^3 + 16x,y
Em relação a y (com x constante), tratamos x como coeficiente:
partial fpartial y = partialpartial yl(x^4y^3r) + partialpartial yl(8x^2yr) = x^4cdot3,y^2 + 8x^2cdot1 = 3x^4y^2 + 8x^2

Resposta

Para z=5xy - x^2:
partial zpartial x=5y-2x, partial zpartial y=5x
Para f(x,y)=y^5-3xy:
partial fpartial x=-3y, partial fpartial y=5y^4-3x
Para f(x,y)=x^4y^3+8x^2y:
partial fpartial x=4x^3y^3+16xy, partial fpartial y=3x^4y^2+8x^2

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