Determine as derivadas parciais de f nos itens abaixo.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função f(x,y,z)=(y^2+z^2)^x. Vamos usar dois conteúdos principais: (1) derivada de a^x em relação a x, que é a^xln(a) quando a é tratado como constante, e (2) regra da cadeia para derivar potências de funçõ es compostas em relação a y ou (z).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, considere y e z constantes. Aplicando a fórmula ddxa^x = a^xln(a) com a=y^2+z^2, obtemos:
partial fpartial x = (y^2+z^2)^x ln(y^2+z^2)

Passo 3

Para partial fpartial y, trate x e z como constantes e defina g(y)=y^2+z^2. Pela regra da cadeia e da potência:
ddyg(y)^x = x,g(y)^x-1,g'(y)
Como g'(y)=2y, segue:
partial fpartial y = x(y^2+z^2)^x-1cdot2y = 2xy(y^2+z^2)^x-1

Passo 4

Para partial fpartial z, análogo ao caso de y. Defina h(z)=y^2+z^2. Como h'(z)=2z e aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial z = x(y^2+z^2)^x-1cdot2z = 2xz(y^2+z^2)^x-1

Resposta

partial fpartial x = (y^2+z^2)^xln(y^2+z^2), partial fpartial y=2xy(y^2+z^2)^x-1, partial fpartial z=2xz(y^2+z^2)^x-1

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