4 Encontre uma representação em série de potências para f(x)=arctg x.
Sugestão: Use que f^prime(x)=11+x^2 e encontre a expansão em série de 11+x^2 através da série geométrica.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a série de Taylor (série de potências) de f(x)=arctg
x em torno de zero. Para isso vamos usar que f
'(x)=1/(1+x²) e a expansão em série geométrica de 1/(1+ x²).

Passo 2

Aplicação da série geométrica: lembrando que para |u|<1 vale 1/(1−u)=∑_{n=0}∞un, tomamos u=−x². Assim temos
[\frac{1}{1+x²}=\frac{1}{1−(−x²)}=\sum_{n=0}∞(−x²)n=\sum_{n=0}∞(−1)n x^{2n},]
válido para |x|<1.

Passo 3

Integração termo a termo: como arctg
x=f(x) e f
'(t)=1/(1+t²), escrevemos
[\arctan x=\int_{0}{x}f’(t),dt=\int_{0}{x}\sum_{n=0}∞(−1)n t{2n},dt=\sum_{n=0}∞(−1)n\int_{0}{x}t^{2n},dt.]

Passo 4

Cálculo da integral de t^{2n}: é
[\int_{0}{x}t{2n},dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.]
Logo a série de arctg
x fica obtida substituindo essa integral.

Passo 5

Intervalo de convergência: a expansão geométrica exigia |x|<1 e a integração não altera esse intervalo, então a série de potências de arctg
x converge para |x|<1.

Resposta

[\arctan x=\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}]

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