Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
24. f(x, y)=x+y^2 com x^2+y^2=4

Passo 1

A função é f(x,y)=x+y^2 sujeita à restrição x^2+y^2=4. O conteúdo aqui é otimização com multiplicadores de Lagrange: vamos formar o Lagrangeano e achar pontos críticos que satisfazem tanto as derivadas parciais quanto a condição dada.

Passo 2

Formamos o Lagrangeano L(x,y,lambda)=x+y^2-lambda(x^2+y^2-4). As condições de otimalidade são
partialLpartial x=1-2lambda x=0,
partialLpartial y=2y-2lambda y=0,
partialLpartial lambda=x^2+y^2-4=0

Passo 3

Da primeira equação vem 1=2lambda x ou lambda=12x. Da segunda equação temos
2y(1-lambda)=0
logo ou y=0 ou lambda=1. Vamos analisar cada caso.

Passo 4

Caso 1 ( y=0): da restrição x^2=4 segue x=pm2. Então temos os pontos (2,0) e (-2,0). Os valores de f são f(2,0)=2 e f(-2,0)=-2.
Caso 2 ( lambda=1): igualando com lambda=tfrac12x 1=1/(2x), ou seja x=1/2. Da restrição y^2=4-(1/2)^2=15/4, então y=pmtfracraiz152. Os pontos são (1/2,pmraiz15/2) e
fl(1/2,pmraiz15/2r)=tfrac12+tfrac154=tfrac174

Passo 5

Comparando os valores obtidos, o menor valor de f é -2 em (-2,0) e o maior é 17/4 nos pontos (1/2,pmraiz15/2).

Resposta

Máximo local de f é 17/4 em (1/2,raiz15/2) e (1/2,-raiz15/2). Mínimo local de f é -2 em (-2,0).

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