Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
25.
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Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos da função f(x,y)=x³+2y³ sujeita à restrição x²+y²=1. O conteúdo aqui é otimização com multiplicadores de Lagrange e vamos precisar montar a Lagrangiana, calcular derivadas parciais, resolver o sistema resultante e comparar os valores de f nos pontos críticos.
Passo 2
Usando o método de Lagrange, definimos a Lagrangiana
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema, consideramos três casos:
- x=0 ⇒ y²=1 ⇒ (0,1) e (0,-1), com f(0,±1)=2(±1)=±2.
- y=0 ⇒ x²=1 ⇒ (1,0) e (-1,0), com f(±1,0)=(±1)³=±1.
- x≠0 e y≠0 ⇒ λ=3x/2 e λ=3y ⇒ y=x/2. Substituindo em x²+(x/2)²=1 vem x=±2/√5, y=±1/√5 (mesmo sinal de x). Aí f=±(2/√5).
Passo 4
Comparando os valores obtidos, vemos que o maior valor de f é 2 em (0,1) e o menor é -2 em (0,-1). Os demais pontos fornecem valores intermediários.
Resposta
O máximo global é f(0,1)=2 e o mínimo global é f(0,-1)=-2.