Determine as derivadas parciais de f nos itens abaixo.
f(r, s, t)=r^2 e^2 s cos t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(r,s,t)=r² e^{2s} cos t. O conteúdo aqui é Derivadas Parciais de funções de várias variáveis, e vamos usar a definição que diz: ao derivar em relação a uma variável, as outras permanecem constantes.

Passo 2

Para ∂f/∂r, tratamos s e t como constantes. A única parte que depende de r é r², cuja derivada em relação a r é 2r. Então temos:
partial fpartial r=2r,e^2scos t

Passo 3

Para ∂f/∂s, tratamos r e t como constantes. A parte que depende de s é e^{2s}, cuja derivada é 2e^{2s}. Logo:
partial fpartial s=r^2cdot2e^2scos t=2r^2e^2scos t

Passo 4

Para ∂f/∂t, r e s são constantes. Derivamos o cos t, que é –sin t. Assim:
partial fpartial t=r^2e^2scdot(-sin t)=-r^2e^2ssin t

Resposta

partial fpartial r=2r,e^2scos t, partial fpartial s=2r^2e^2scos t, partial fpartial t=-r^2e^2ssin t

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