Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Temos a EDO
. Observa que o lado direito é uma razão de duas funções lineares homogêneas de grau 1 em
e
. Isso caracteriza uma ODE homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a substituição
e depois separar variáveis.
Passo 2
Fazendo
, temos
. Substituindo na EDO:
$$
u + x\frac{du}{dx} = -\frac{a + b u}{b + c u}.
x\frac{du}{dx} = -\frac{a + b u}{b + c u} - u = -\frac{a + 2 b u + c u^2}{b + c u}.
\frac{du}{dx} = -\frac{a + 2 b u + c u^2}{x(b + c u)}.$$
Passo 3
Agora separamos as variáveis levando tudo em
para um lado e tudo em
para o outro:
$$
\frac{b + c u}{a + 2 b u + c u^2},du = -\frac{dx}{x}.$$
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, note que se definirmos
, então
$$
dD = (2b + 2c u),du = 2(b + c u),du.
\int \frac{b + c u}{a + 2 b u + c u^2},du = \frac{1}{2} \int \frac{dD}{D} = \frac{1}{2} \ln|D| + const.
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + const.
\tfrac{1}{2}\ln|a + 2b u + c u^2| = -\ln|x| + \ln|K|.$$
Passo 5
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
$$
a + 2 b u + c u^2 = K x^{-2}.
a x^2 + 2 b x y + c y^2 = C,$$
onde é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral implícita.
onde
Passo 6
Se tivéssemos uma condição inicial do tipo
, bastaria substituir
e
na solução geral
para determinar
e obter a solução particular.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
, onde
é constante.