Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
d yd x=-a x+b yb x+c y

Passo 1

Temos a EDO dydx = -a x + b yb x + c y. Observa que o lado direito é uma razão de duas funções lineares homogêneas de grau 1 em x e y. Isso caracteriza uma ODE homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a substituição y = u x e depois separar variáveis.

Passo 2

Fazendo y = u x, temos dydx = u + xdudx. Substituindo na EDO:
$$
u + x\frac{du}{dx} = -\frac{a + b u}{b + c u}. u + xdudx = -a + b ub + c uã
x\frac{du}{dx} = -\frac{a + b u}{b + c u} - u = -\frac{a + 2 b u + c u^2}{b + c u}. xdudx = -a + b ub + c u - u = -a + 2 b u + c u^2b + c u
\frac{du}{dx} = -\frac{a + 2 b u + c u^2}{x(b + c u)}.$$

Passo 3

Agora separamos as variáveis levando tudo em u para um lado e tudo em x para o outro:
$$
\frac{b + c u}{a + 2 b u + c u^2},du = -\frac{dx}{x}.$$

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, note que se definirmos D(u) = a + 2b u + c u^2, então
$$
dD = (2b + 2c u),du = 2(b + c u),du. dD = (2b + 2c u),du = 2(b + c u),du
\int \frac{b + c u}{a + 2 b u + c u^2},du = \frac{1}{2} \int \frac{dD}{D} = \frac{1}{2} \ln|D| + const. integral b + c ua + 2 b u + c u^2,du = 12 integral dDD = 12 ln|D| + const
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + const. integral -dxx = -ln|x| + const
\tfrac{1}{2}\ln|a + 2b u + c u^2| = -\ln|x| + \ln|K|.$$

Passo 5

Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
$$
a + 2 b u + c u^2 = K x^{-2}. a + 2 b u + c u^2 = K x^-2
a x^2 + 2 b x y + c y^2 = C,$$
onde y é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral implícita.

Passo 6

Se tivéssemos uma condição inicial do tipo y(x0)=y0, bastaria substituir x0 e y0 na solução geral a x^2 + 2 b x y + c y^2 = C para determinar C e obter a solução particular.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por a x^2 + 2 b x y + c y^2 = C, onde C é constante.

Exercícios relacionados