Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
(y e^x y cos (2 x)-2 e^x y sen(2 x)+2 x) d x+(x e^x y cos (2 x)-3) d y=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO
l(y e^xycos(2x)-2 e^xysin(2x)+2xr),dx + l(x e^xycos(2x)-3r),dy=0
O conteúdo é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar as funções
M(x,y) e N(x,y), testar exatidão usando partial M/partial y=partial N/partial x e buscar uma função potencial psi(x,y) tal que
dpsi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Calculando a exatidão: definimos
M(x,y)=y e^xycos(2x)-2 e^xysin(2x)+2x, N(x,y)=x e^xycos(2x)-3
Agora as derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^xycos(2x)(1+xy) -2x e^xysin(2x),
$$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{xy}\cos(2x)(1+xy) -2x e^{xy}\sin(2x).
$$
Como partial Npartial x = e^xycos(2x)(1+xy) -2x e^xysin(2x) , a equação é exata.

Passo 3

Integração de M em relação a x: observamos que
$$y e^{xy}\cos(2x)-2 e^{xy}\sin(2x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{xy}\cos(2x)\bigr)
y e^xycos(2x)-2 e^xysin(2x) = ddxl(e^xycos(2x)r) çãé\psi(x,y)=e{xy}\cos(2x)+x2 + h(y),$$
onde integral 2x,dx = x^2 é função de psi(x,y)=e^xycos(2x)+x^2 + h(y), a determinar.

Passo 4

Determinação de h(y): derivando psi em relação a y:
$$\frac{\partial \psi}{\partial y} = x e^{xy}\cos(2x) + h’(y).
partial psipartial y = x e^xycos(2x) + h'(y) íh’(y)=-3 \implies h(y)=-3y + C_1.
$$
Substituindo em N(x,y)=x e^xycos(2x)-3, omitindo a constante h'(y)=-3 implies h(y)=-3y + C1 na forma final.

Passo 5

Solução geral implícita: juntando tudo,
psi(x,y)=e^xycos(2x)+x^2 -3y = C,
que é a solução geral da EDO exata dada.

Resposta

e^{xy}\cos(2x) + x^2 - 3y = C

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