Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO
O conteúdo é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar as funções
Passo 2
Calculando a exatidão: definimos
Agora as derivadas parciais:
$$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{xy}\cos(2x)(1+xy) -2x e^{xy}\sin(2x).
$$
Como , a equação é exata.
Como
Passo 3
Integração de
em relação a
: observamos que
$$y e^{xy}\cos(2x)-2 e^{xy}\sin(2x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{xy}\cos(2x)\bigr)
onde
é função de
a determinar.
Passo 4
Determinação de
: derivando
em relação a
:
$$\frac{\partial \psi}{\partial y} = x e^{xy}\cos(2x) + h’(y).
$$
Substituindo em , omitindo a constante
na forma final.
Substituindo em
Passo 5
Solução geral implícita: juntando tudo,
que é a solução geral da EDO exata dada.
Resposta
e^{xy}\cos(2x) + x^2 - 3y = C