Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y das funções de duas variáveis.

Passo 1

Temos a função de duas variáveis f(x,y)=x^2ln(1+x^2+y^2). O conteúdo aqui é derivadas parciais de uma função que envolve produto e logaritmo, então vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para ln, derivando em relação a x e a y separadamente.

Passo 2

Para calcular partial zpartial x aplicamos a regra do produto. Defina u(x,y)=x^2 e v(x,y)=ln(1+x^2+y^2). Então
partial zpartial x =partial upartial x,v+u,partial vpartial x =2xln(1+x^2+y^2)+x^2cdot2x1+x^2+y^2
Por fim, organizando,
partial zpartial x=2xln(1+x^2+y^2)+2x^31+x^2+y^2

Passo 3

Para calcular partial zpartial y vemos que x^2 é constante e só precisa aplicar a regra da cadeia em ln(1+x^2+y^2). Temos:
partial zpartial y=x^2cdot2y1+x^2+y^2 = 2x^2y1+x^2+y^2

Resposta

partial zpartial x=2xln(1+x^2+y^2)+2x^31+x^2+y^2, partial zpartial y=2x^2y1+x^2+y^2

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