Determine as derivadas parciais da função:
(a) f(x, y)=x^2+3 x y+x y e^2 y

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) = x^2 + 3xy + xy e^2y . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial Multivariável. Para resolver, vamos precisar conhecer o conceito de derivadas parciais, que nos permite analisar como a função muda quando apenas uma das variáveis (x ou y) varia, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
Para isso, tratamos y como uma constante e diferenciamos cada termo da função em relação a x :
  1. Termo x^2 :
ddx(x^2) = 2x
  1. Termo 3xy :
ddx(3xy) = 3y
  1. Termo xy e^2y :
ddx(xy e^2y) = y e^2y
Aqui, e^2y é tratado como uma constante em relação a x .
Somando todos os resultados:
partial fpartial x = 2x + 3y + y e^2y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Dessa vez, tratamos x como uma constante e diferenciamos cada termo da função em relação a y :
  1. Termo x^2 :
ddy(x^2) = 0
Como x^2 não depende de y , sua derivada é zero.
2. Termo 3xy :
ddy(3xy) = 3x
  1. Termo xy e^2y :
ddy(xy e^2y) = x e^2y + 2xy e^2y
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada de e^2y , que é 2e^2y .
Somando todos os resultados:
partial fpartial y = 3x + x e^2y + 2xy e^2y

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = x^2 + 3xy + xy e^2y são:
partial fpartial x = 2x + 3y + y e^2y
partial fpartial y = 3x + x e^2y + 2xy e^2y

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