Let C be the curve |z|=2. Explain why each of the following integrals is 0 .
integralC log (z+3) d z (principal branch of log).

Passo 1

Então, temos uma integral no plano complexo onde a curva C é o círculo de raio 2 centrado na origem, ou seja, |z| = 2 . A função que estamos integrando é log(z + 3) , usando o ramo principal do logaritmo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções analíticas e o Teorema de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. O logaritmo complexo, log(z) , é analítico em todo lugar, exceto na sua ramificação, que geralmente é escolhida ao longo do eixo negativo real.

Passo 3

No nosso caso, temos log(z + 3) . Isso significa que a função terá uma ramificação quando z + 3 estiver no eixo negativo real. Vamos verificar se essa ramificação está dentro ou fora do nosso círculo C .

Passo 4

A curva C é definida por |z| = 2 . Então, z está a uma distância de 2 da origem. Se olharmos para z + 3 , isso significa que estamos deslocando o círculo C para a direita no plano complexo, para que o novo centro seja em z = -3 . Portanto, |z + 3| varia entre 1 e 5 .

Passo 5

A singularidade do logaritmo ocorre quando z + 3 = 0 , ou seja, z = -3 . Mas olhando para o nosso círculo, |z + 3| varia entre 1 e 5 , então z = -3 está fora da nossa curva C (já que | -3 | = 3 > 2 ).

Passo 6

Como não há singularidades da função log(z + 3) dentro da curva C , podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que nos diz que a integral de uma função analítica ao longo de uma curva fechada é zero.

Resposta

A integral é igual a 0 .

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