Let
be the curve
. Explain why each of the following integrals is 0 .
(principal branch of
).
Passo 1
Então, temos uma integral no plano complexo onde a curva
é o círculo de raio 2 centrado na origem, ou seja,
. A função que estamos integrando é
, usando o ramo principal do logaritmo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções analíticas e o Teorema de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. O logaritmo complexo,
, é analítico em todo lugar, exceto na sua ramificação, que geralmente é escolhida ao longo do eixo negativo real.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Isso significa que a função terá uma ramificação quando
estiver no eixo negativo real. Vamos verificar se essa ramificação está dentro ou fora do nosso círculo
.
Passo 4
A curva
é definida por
. Então,
está a uma distância de 2 da origem. Se olharmos para
, isso significa que estamos deslocando o círculo
para a direita no plano complexo, para que o novo centro seja em
. Portanto,
varia entre
e
.
Passo 5
A singularidade do logaritmo ocorre quando
, ou seja,
. Mas olhando para o nosso círculo,
varia entre
e
, então
está fora da nossa curva
(já que
).
Passo 6
Como não há singularidades da função
dentro da curva
, podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que nos diz que a integral de uma função analítica ao longo de uma curva fechada é zero.
Resposta
A integral é igual a
.