Let C be the curve |z|=2. Explain why each of the following integrals is 0 .
integralC sec (z / 2) d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCsecl(tfrac z2r),dz
onde C é a circunferência |z|=2.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para contornos fechados: se uma função é analítica em todo o interior de um caminho fechado e na própria borda, então sua integral em torno desse caminho é zero.

Passo 2

Identificamos as possíveis singularidades de secl(tfrac z2r). Como
secl(tfrac z2r)=1cosl(tfrac z2r),
as descontinuidades ocorrem onde cosl(tfrac z2r)=0. Essas raízes são dadas por
tfrac z2 = pi2 + kpi, kin Z,
ou seja
z = pi + 2kpi
Os valores mais próximos de zero são z=piapprox3,14 e z=-piapprox-3,14, ambos com módulo maior que 2. Logo, nenhuma dessas singularidades está dentro ou sobre o círculo |z|<=2.

Passo 3

Concluímos que secl(tfrac z2r) é analítica em todo o disco interior a |z|=2 e na própria circunferência. Pelo Teorema de Cauchy para funções analíticas em domínios simplesmente conectos, temos
integralCsecl(tfrac z2r),dz = 0

Resposta

0

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