Let
be the curve
. Explain why each of the following integrals is 0 .
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a circunferência
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para contornos fechados: se uma função é analítica em todo o interior de um caminho fechado e na própria borda, então sua integral em torno desse caminho é zero.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para contornos fechados: se uma função é analítica em todo o interior de um caminho fechado e na própria borda, então sua integral em torno desse caminho é zero.
Passo 2
Identificamos as possíveis singularidades de
. Como
as descontinuidades ocorrem onde
. Essas raízes são dadas por
ou seja
Os valores mais próximos de zero são
e
, ambos com módulo maior que
. Logo, nenhuma dessas singularidades está dentro ou sobre o círculo
.
Passo 3
Concluímos que
é analítica em todo o disco interior a
e na própria circunferência. Pelo Teorema de Cauchy para funções analíticas em domínios simplesmente conectos, temos