Determine as derivadas parciais da função.
r(x, y, z)=arcsenh(x y)+e^y z.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
r(x,y,z)=arcsenh(x,y)+e^y,z
O conteúdo principal aqui é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de exponencial. Vamos usar que
ddul(arcsenh(u)r)=1raiz1+u^2
e que
ddue^u=e^u

Passo 2

Para partial rpartial x só o termo arcsenh(x y) depende de x. Aplicando a regra da cadeia:
u=x,y, partialpartial xl(arcsenh(u)r) =1raiz1+u^2;partial upartial x =1raiz1+(x y)^2;(y)
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partial rpartial x(x,y,z) =yraiz1+(x y)^2

Passo 3

Para partial rpartial y temos contribuição de ambos os termos. Primeiro em u=x,y:
partialpartial yl(arcsenh(u)r) =1raiz1+(x y)^2;(x)
Depois em e^y z, usando regra da cadeia com v=y,z:
partialpartial ye^v =e^v;partial vpartial y =e^y z;(z)
Somando,
partial rpartial y(x,y,z) =xraiz1+(x y)^2+z,e^y z

Passo 4

Para partial rpartial z e^y z depende de z. Com v=y,z:
partialpartial ze^v =e^v;partial vpartial z =e^y z;(y)
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partial rpartial z(x,y,z) =y,e^y z

Resposta

partial rpartial x(x,y,z)=yraiz1+(x y)^2
partial rpartial y(x,y,z)=xraiz1+(x y)^2+z,e^y z
partial rpartial z(x,y,z)=y,e^y z

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