Determine as derivadas parciais da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y)=x yx^2-y^3

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função
f(x,y)=x,yx^2-y^3
em todos os pontos de seu domínio. O domínio é dado por
(x,y)mid x^2-y^3neq0
Para calcular cada derivada parcial vamos tratar uma variável como constante e usar a regra do quociente: se f=u/v então
partial fpartial x =partial upartial x,v - u,partial vpartial xv^2 e partial fpartial y =partial upartial y,v - u,partial vpartial yv^2

Passo 2

Para partial fpartial x tomamos
u(x,y)=x,y, v(x,y)=x^2-y^3
Então
partial upartial x=y, partial vpartial x=2x
Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x =y,(x^2-y^3) - x,ycdot2x(x^2-y^3)^2 =y,x^2-y^4-2x^2y(x^2-y^3)^2 =-y,(x^2+y^3)(x^2-y^3)^2

Passo 3

Para partial fpartial y tomamos
u(x,y)=x,y, v(x,y)=x^2-y^3
Então
partial upartial y=x, partial vpartial y=-3y^2
Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y =x,(x^2-y^3) - x,ycdot(-3y^2)(x^2-y^3)^2 =x,x^2-x,y^3+3x,y^3(x^2-y^3)^2 =x,(x^2+2y^3)(x^2-y^3)^2

Resposta

partial fpartial x =-y,(x^2+y^3)(x^2-y^3)^2, partial fpartial y =x,(x^2+2y^3)(x^2-y^3)^2

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