Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral0^1(x^3-3 x^2+8) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de x^3 - 3x^2 + 8 de 0 a 1. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais encontrando uma antiderivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada para cada termo da função x^3 - 3x^2 + 8 . Uma antiderivada é uma função cuja derivada nos dá de volta a função original.

Passo 3

Calculando as antiderivadas:
  • A antiderivada de x^3 é x^44 , pois ao derivar x^44 obtemos x^3 .
  • A antiderivada de -3x^2 é -x^3 , já que a derivada de -x^3 é -3x^2 .
  • A antiderivada de 8 é 8x , porque a derivada de 8x é 8 .

Passo 4

Somando as antiderivadas encontradas, temos:
F(x) = x^44 - x^3 + 8x

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular F(1) - F(0) .

Passo 6

Calculando F(1) :
F(1) = 1^44 - 1^3 + 8 times 1 = 14 - 1 + 8 = 14 + 7 = 294

Passo 7

Calculando F(0) :
F(0) = 0^44 - 0^3 + 8 times 0 = 0 - 0 + 0 = 0

Resposta

Portanto, o valor da integral é 294 .

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