Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais encontrando uma antiderivada da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada para cada termo da função
. Uma antiderivada é uma função cuja derivada nos dá de volta a função original.
Passo 3
Calculando as antiderivadas:
- A antiderivada de
é , pois ao derivar obtemos . - A antiderivada de
é , já que a derivada de é . - A antiderivada de
é , porque a derivada de é .
Passo 4
Somando as antiderivadas encontradas, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular
.
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Calculando
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.